Trong tài liệu [1], tác giả Thierry P. Berger và các cộng sự đưa ra phương pháp xây dựng các mã MDS bằng cách mở rộng các mã Gabidulin. Phương pháp này sử dụng các mã tối ưu trên một trường cơ sở bên dưới.
Khoảng cách hạng được giới thiệu bởi E. Gabidulin vào năm 1985, chi tiết về độ đo này được trình bày trong [2].
Cho K = GF(qm) là một mở rộng bậc m của trường hữu hạn GF (q), q = pr không cần là nguyên tố, trường GF(q) được xét như “trường cơ sở” trong phương pháp này. Cho E = Kn là không gian vectơ n chiều trên K.
Tương đương, trọng số hạng của a là hạng của ma trận m x n trên GF(q) được tạo bằng cách mở rộng mọi tọa độ ai trên cơ sở của K/ GF (q). Giá trị của trọng số hạng là độc lập với cơ sở được chọn.
nó cũng có hạng là 2.
Tồn tại một giới hạn đối với khoảng cách hạng tối thiểu của một mã, tương tự như giới hạn Singleton đối với khoảng cách Hamming:
Mệnh đề 1 ([2]): Nếu C là một mã tuyến tính độ dài n, số chiều k và khoảng cách hạng dr, thì:
Tập các đa thức được tuyến tính hóa là đẳng cấu với tập các ứng dụng tuyến tính - GF(q) của K vào chính nó [3].
Các tác giả đưa ra chứng minh ngắn gọn của định lý sau ([84]):
Chứng minh:
Độ dài của các mã Gabidulin tương đối ngắn (độ dài của mã nhiều nhất bằng m) so với qm Mục tiêu của các tác giả trong [1] là mở rộng các mã Gabidulin bằng cách thêm vào điểm ước lượng của đa thức tuyến tính hóa.
Chứng minh:
Khoảng cách hạng là cực đại nếu a là một hệ sinh của K, nghĩa là rk(a) = m. Tuy nhiên khoảng cách hạng của các mã như vậy bị chặn trên bởi m - k + 1.
Hệ quả 1 ([1]). Khoảng cách Hamming dh của mã Cak lớn hơn hoặc bằng rk(a) - k +1.
Tuy nhiên, có thể xây dựng một mã Cak với khoảng cách Hamming tốt.
Các tác giả tiếp tục đưa ra mệnh đề sau:
Mệnh đề 3 ([1]). Khoảng cách Hamming tối thiểu của mã Ca,k là dh = n - s, trong đó s là số lượng cực đại của các phần tử của a được chứa trong cùng không gian vectơ V với số chiều k-1.
Chứng minh:
Định lý sau đây khẳng định đặc trưng của các mã Cak để là MDS.
Định lý 2 ([1]). Một mã Cak là MDS nếu và chỉ nếu tập bất kỳ gồm k phần tử của a là độc lập tuyến tính.
Chứng minh:
Nếu tập bất kỳ gồm k phần tử của a là độc lập tuyến tính thì số lượng cực đại của các phần tử của a được chứa trong một không gian vectơ k-1 chiều bằng s=k-1. Khi đó, khoảng cách tối thiểu của một mã như thế sẽ bằng dh=n-(k-1) = n-k+1. Do vậy, đây là một mã MDS.
Ngược lại, nếu Cak là mã MDS thì dh =n-(k-1). Có nghĩa là s=k-1 , hay không gian vectơ k-1 chiều bất kỳ V chứa nhiều nhất k-1 phần tử của a. Điều này tương đương với khẳng định “tập bất kỳ k phần tử của a là độc lập tuyến tính”.
Cố định q=2 và m=2r. Chọn cơ sở B={b1,b2,...bm} của K trên F=GF(2) và n=m. Khi đó mã Gabidulin GB,r là mã MRD và có các tham số [m=2r,r,r+1] (GB,r cũng là mã MDS) trên K (r là độ dài tin k).
Nếu A là ma trận vuông cỡ r trên K sao cho [Ir,A] là ma trận sinh chuẩn của GB,r thì A là ma trận MDS trên K. Ma trận này cho độ khuếch tán cực đại trên r khối có cỡ m=2r nhưng lại có thêm tính chất MRD.
Ví dụ 2. Chọn m=8, r=4. Giả sử
là nghiệm của đa thức nguyên thủy x8+x4+x3+x2+1. Đặt B={1,a, a2,…, a7} là cơ sở của K trên F. Ma trận MDS A được xác định từ mã Gabidulin GB,4 là:Ma trận A này có cùng các tham số như MixColumns, r=4 là cỡ cực đại của ma trận MDS có tính chất MRD trên GF(28).
Giả sử n>m và n=2k, khi đó mã MRD không nhất thiết là MDS (nói chung không là MDS). Trước đây, người ta đã thiết lập mã MDS có độ dài n>m bằng cách mở rộng các điểm ước lượng của đa thức tuyến tính hóa. Tuy nhiên, các mã này không còn là MRD nữa, các tham số của chúng bị hạn chế nên không thể vượt qua tỷ lệ ½ (tức là mã tuyến tính có n=2k). Những mã Gabidulin mở rộng này dường như không thích hợp để xây dựng các tầng khuếch tán MDS và không có tính chất bổ sung so với mã Reed-Solomon.
Sau đây, tác giả bài báo đưa ra bảng so sánh hai phương pháp xây dựng các ma trận MDS từ các mã MDS, bao gồm mã RS và mã Gabidulin.
Bảng 1. So sánh phương pháp từ mã RS và mã Gabidulin
Bài báo này giới thiệu một phương pháp xây dựng các mã MDS bằng cách mở rộng các mã Gabidulin để từ đó có thể trích rút ra được các ma trận MDS từ các mã MDS này. Phương pháp này sử dụng các mã tối ưu trên một trường cơ sở bên dưới do tác giả Thierry P. Berger và các cộng sự đã đưa ra trong tài liệu [1]. Bài báo cũng đưa ra so sánh các phương pháp xây dựng ma trận MDS từ các mã MDS như mã RS và mã Gabidulin. Việc nghiên cứu các phương pháp khác nhau trong việc xây dựng các ma trận MDS sẽ hữu ích cho các nhà nghiên cứu để tìm ra những ma trận MDS tốt nhất theo nhiều tiêu chí khác nhau nhằm xây dựng các mã khối an toàn, hiệu quả trong thực thi.
TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Thierry P. Berger, Alexei V. Ourivski, Construction of new MDS codes from Gabidulin codes, LACO, University of Limoges, France, 2013. [2] E. M. Gabidulin. Theory of codes with maximal rank distance. Problems of Information Transmission, 21:1-12, July 1985. [3] R. Lidl, H. Niederreiter. Finite fields and their applications. Cambridge University Press. [4] R. F. Babindamana and C. T. Gueye, Gabidulin Codes that are Generalized Reed Solomon Codes, International Journal of Algebra, Vol. 4, 2010, no. 3, Insert Cell After119 – 142. |
TS. Trần Thị Lượng (Học viện Kỹ thuật mật mã)
17:00 | 19/11/2020
15:00 | 24/09/2021
22:58 | 19/05/2015
08:00 | 21/12/2023
Theo số liệu của DataReportal, hiện Việt Nam đang có khoảng 49,9 triệu người sử dụng mạng xã hội TikTok, xếp thứ 6 trên 10 quốc gia có số người sử dụng TikTok nhiều nhất thế giới. Đáng chú ý là mạng xã hội này đang dần chiếm lĩnh thị trường nhờ vào những đoạn video có nội dung đa dạng mang tính "gây nghiện", thu hút mọi lứa tuổi trong đó có trẻ em. Tuy nhiên không như những mạng xã hội khác, TikTok thường xuyên bị cáo buộc việc gây ra những rủi ro nghiêm trọng về bảo mật và quyền riêng tư của người dùng. Thời gian qua đã có ít nhất 10 quốc gia cấm sử dụng ứng dụng này, trong đó có những nguyên nhân là do Tiktok gây ảnh hưởng nghiêm trọng tới suy nghĩ và hành động của trẻ em.
09:00 | 17/11/2023
Theo Cục An toàn thông tin (Bộ TT&TT), hiện nay có 24 hình thức lừa đảo qua mạng phổ biến mà các đối tượng lừa đảo nhắm vào người dân. Để tránh trở thành nạn nhân, người dân cần nắm bắt, tuyên truyền cho người thân, bạn bè, đồng nghiệp của mình.
14:00 | 14/08/2023
Xu hướng số hóa đã mang lại nhiều lợi ích cho ngành công nghiệp sản xuất, nhưng nó cũng bộc lộ những lỗ hổng trong hệ thống công nghệ vận hành (Operational Technology - OT) được sử dụng trong những môi trường này. Khi ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển công nghiệp (Industrial Control System - ICS) được kết nối với Internet, nguy cơ tấn công mạng nhằm vào các hệ thống này sẽ càng tăng lên. Nếu các hệ thống này bị xâm phạm, nó có thể dẫn đến những hậu quả nghiêm trọng, chẳng hạn như ảnh hưởng sản xuất, bị mất cắp dữ liệu, hư hỏng vật chất đối với thiết bị, nguy hiểm cho môi trường làm việc và thậm chí gây hại đến tính mạng con người. Chính vì vậy, việc đưa ra các lưu ý giúp tăng cường bảo mật OT trong môi trường công nghiệp sản xuất trở nên vô cùng quan trọng.
10:00 | 21/04/2023
Hiện nay, các ứng dụng sử dụng hệ thống Internet vạn vật (Internet of Things - IoT) phát triển nhanh về số lượng dẫn đến những nguy cơ tiềm ẩn về lộ lọt dữ liệu nhạy cảm. Trong bài báo này, nhóm tác giả đề xuất một phương pháp mã hóa phân vùng trên máy tính nhúng sử dụng dm-crypt và LUKS để bảo vệ dữ liệu cho ứng dụng camera, đồng thời tích hợp thêm thuật toán mật mã Kuznyechik trong chuẩn GOST R34.12-2015 trên máy tính nhúng Raspberry Pi. Trong phần I, bài báo đi tìm hiểu về các phương pháp mã hóa dữ liệu và trình bày về các giải pháp mã hóa dữ liệu lưu trữ, giới thiệu nguyên lý hoạt động và một số công cụ phần mềm hỗ trợ mã hóa dữ liệu cả về thương mại lẫn mã nguồn mở, tìm hiểu sâu hơn về giải pháp mã hóa phân vùng bằng dm-crypt và LUKS trên máy tính nhúng, cụ thể là Raspberry Pi.
Những ngày gần đây, liên tục các kênh YouTube với lượng người theo dõi lớn như Mixigaming với 7,32 triệu người theo dõi của streamer nổi tiếng Phùng Thanh Độ (Độ Mixi) hay Quang Linh Vlogs - Cuộc sống ở Châu Phi với 3,83 triệu người theo dõi của YouTuber Quang Linh đã bị tin tặc tấn công và chiếm quyền kiểm soát.
10:00 | 22/04/2024
Mới đây, Cơ quan An ninh mạng và Cơ sở hạ tầng Hoa Kỳ (CISA) đã phát hành phiên bản mới của hệ thống Malware Next-Gen có khả năng tự động phân tích các tệp độc hại tiềm ẩn, địa chỉ URL đáng ngờ và truy tìm mối đe dọa an ninh mạng. Phiên bản mới này cho phép người dùng gửi các mẫu phần mềm độc hại để CISA phân tích.
13:00 | 17/04/2024