Ma trận MDS là một thành tố quan trọng trong việc xây dựng, thiết kế các mã khối an toàn. Bài báo này giới thiệu về mã Gabidulin (một mã tuyến tính trong lý thuyết mã) và cách xây dựng các mã MDS từ mã Gabidulin.

Trong tài liệu [1], tác giả Thierry P. Berger và các cộng sự đưa ra phương pháp xây dựng các mã MDS bằng cách mở rộng các mã Gabidulin. Phương pháp này sử dụng các mã tối ưu trên một trường cơ sở bên dưới.

Khoảng cách hạng

Khoảng cách hạng được giới thiệu bởi E. Gabidulin vào năm 1985, chi tiết về độ đo này được trình bày trong [2].

Cho K = GF(q^m) là một mở rộng bậc m của trường hữu hạn GF (q), q = p^r không cần là nguyên tố, trường GF(q) được xét như “trường cơ sở” trong phương pháp này. Cho E = Kⁿ là không gian vectơ n chiều trên K.

Tương đương, trọng số hạng của a là hạng của ma trận m x n trên GF(q) được tạo bằng cách mở rộng mọi tọa độ a_i trên cơ sở của K/ GF (q). Giá trị của trọng số hạng là độc lập với cơ sở được chọn.

nó cũng có hạng là 2.

Tồn tại một giới hạn đối với khoảng cách hạng tối thiểu của một mã, tương tự như giới hạn Singleton đối với khoảng cách Hamming:

Mệnh đề 1 ([2]): Nếu C là một mã tuyến tính độ dài n, số chiều k và khoảng cách hạng d_r, thì:

Nếu  
Nếu .

Mã Gabidulin

Tập các đa thức được tuyến tính hóa là đẳng cấu với tập các ứng dụng tuyến tính - GF(q) của K vào chính nó [3].

Các tác giả đưa ra chứng minh ngắn gọn của định lý sau ([84]):

Chứng minh:

Mở rộng của mã Gabidulin

Độ dài của các mã Gabidulin tương đối ngắn (độ dài của mã nhiều nhất bằng m) so với q^m Mục tiêu của các tác giả trong [1] là mở rộng các mã Gabidulin bằng cách thêm vào điểm ước lượng của đa thức tuyến tính hóa.

Chứng minh:

Khoảng cách hạng là cực đại nếu a là một hệ sinh của K, nghĩa là rk(a) = m. Tuy nhiên khoảng cách hạng của các mã như vậy bị chặn trên bởi m - k + 1.

Hệ quả 1 ([1]). Khoảng cách Hamming d_h của mã C_ak lớn hơn hoặc bằng rk(a) - k +1.

Tuy nhiên, có thể xây dựng một mã C_ak với khoảng cách Hamming tốt.

Các tác giả tiếp tục đưa ra mệnh đề sau:

Mệnh đề 3 ([1]). Khoảng cách Hamming tối thiểu của mã C_a,k là d_h = n - s, trong đó s là số lượng cực đại của các phần tử của a được chứa trong cùng không gian vectơ V với số chiều k-1.

Chứng minh:

Định lý sau đây khẳng định đặc trưng của các mã C_ak để là MDS.

Định lý 2 ([1]). Một mã C_ak là MDS nếu và chỉ nếu tập bất kỳ gồm k phần tử của a là độc lập tuyến tính.

Chứng minh:

Nếu tập bất kỳ gồm k phần tử của a là độc lập tuyến tính thì số lượng cực đại của các phần tử của a được chứa trong một không gian vectơ k-1 chiều bằng s=k-1. Khi đó, khoảng cách tối thiểu của một mã như thế sẽ bằng d_h=n-(k-1) = n-k+1. Do vậy, đây là một mã MDS.

Ngược lại, nếu C_ak là mã MDS thì dh =n-(k-1). Có nghĩa là s=k-1 , hay không gian vectơ k-1 chiều bất kỳ V chứa nhiều nhất k-1 phần tử của a. Điều này tương đương với khẳng định “tập bất kỳ k phần tử của a là độc lập tuyến tính”.  

Xây dựng ma trận MDS có tính chất MRD

Cố định q=2 và m=2r. Chọn cơ sở B={b₁,b₂,...b_m} của K trên F=GF(2) và n=m. Khi đó mã Gabidulin G_B,r là mã MRD và có các tham số [m=2r,r,r+1] (G_B,r cũng là mã MDS) trên K (r là độ dài tin k).

 Nếu A là ma trận vuông cỡ r trên K sao cho [I_r,A] là ma trận sinh chuẩn của G_B,r thì A là ma trận MDS trên K. Ma trận này cho độ khuếch tán cực đại trên r khối có cỡ m=2r nhưng lại có thêm tính chất MRD.

Ví dụ 2. Chọn m=8, r=4. Giả sử

là nghiệm của đa thức nguyên thủy x⁸+x⁴+x³+x²+1. Đặt B={1,a, a²,…, a⁷} là cơ sở của K trên F. Ma trận MDS A được xác định từ mã Gabidulin G_B,4 là:

Ma trận A này có cùng các tham số như MixColumns, r=4 là cỡ cực đại của ma trận MDS có tính chất MRD trên GF(2⁸).

Giả sử n>m và n=2k, khi đó mã MRD không nhất thiết là MDS (nói chung không là MDS). Trước đây, người ta đã thiết lập mã MDS có độ dài n>m  bằng cách mở rộng các điểm ước lượng của đa thức tuyến tính hóa. Tuy nhiên, các mã này không còn là MRD nữa, các tham số của chúng bị hạn chế nên không thể vượt qua tỷ lệ ½ (tức là mã tuyến tính có n=2k). Những mã Gabidulin mở rộng này dường như không thích hợp để xây dựng các tầng khuếch tán MDS và không có tính chất bổ sung so với mã Reed-Solomon.

So sánh các phương pháp xây dựng ma trận MDS từ mã MDS

Sau đây, tác giả bài báo đưa ra bảng so sánh hai phương pháp xây dựng các ma trận MDS từ các mã MDS, bao gồm mã RS và mã Gabidulin.

Bảng 1. So sánh phương pháp từ mã RS và mã Gabidulin

Bài báo này giới thiệu một phương pháp xây dựng các mã MDS bằng cách mở rộng các mã Gabidulin để từ đó có thể trích rút ra được các ma trận MDS từ các mã MDS này. Phương pháp này sử dụng các mã tối ưu trên một trường cơ sở bên dưới do tác giả Thierry P. Berger và các cộng sự đã đưa ra trong tài liệu [1]. Bài báo cũng đưa ra so sánh các phương pháp xây dựng ma trận MDS từ các mã MDS như mã RS và mã Gabidulin. Việc nghiên cứu các phương pháp khác nhau trong việc xây dựng các ma trận MDS sẽ hữu ích cho các nhà nghiên cứu để tìm ra những ma trận MDS tốt nhất theo nhiều tiêu chí khác nhau nhằm xây dựng các mã khối an toàn, hiệu quả trong thực thi.

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Thierry P. Berger, Alexei V. Ourivski, Construction of new MDS codes from Gabidulin codes, LACO, University of Limoges, France, 2013. [2] E. M. Gabidulin. Theory of codes with maximal rank distance. Problems of Information Transmission, 21:1-12, July 1985. [3] R. Lidl, H. Niederreiter. Finite fields and their applications. Cambridge University Press. [4] R. F. Babindamana and C. T. Gueye, Gabidulin Codes that are Generalized Reed Solomon Codes, International Journal of Algebra, Vol. 4, 2010, no. 3, Insert Cell After119 – 142.